高等学校试用教材 常微分方程补充教程

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前言 4
目录 6
第一章 一般理论 10
1.预备定理 11
1.1.Ascoli-Arzela(阿斯卡里-阿尔采拉)定理 11
1.2.不动点原理 12
2.解的局部存在性定理 14
2.1.Picard逐次逼近性(压缩映象原理) 15
2.2.Euler折线性(差分法) 19
2.3.Schauder不动点方法 25
2.4.Cauchy的优级数法 27
1.一般定性理论中的概念、问题和方法 33
2.5.关于高阶方程解的存在性 35
3.解的延展性定理 37
4.微分(积分)不等式与比较定理 43
4.1.第一比较定理 44
4.2.最大解与最小解 45
4.3.微分(积分)不等式 50
4.4.第二比较定理 53
4.5.某些推广 54
5.非局部存在性定理 59
6.唯一性定理 64
6.1.问题的提出 64
6.2.Kamke一般唯一性定理 65
6.3.Kamke唯一性定理的一些推论 67
6.4.整体唯一性定理 70
6.5.解的唯一性与逐次逼近序列的关系 71
7.1.问题的提出 72
7.解对初值与参数的相依性 72
7.2.解对初值与参数的连续性 74
7.3.解对初值与参数的可微性 77
8.Carathéodory关于解的存在与唯一性定理 82
8.1.Carathéodory意义下解的概念 83
8.2.解的存在定理 84
8.3.解的唯一性定理 89
9.Banach空间中的微分方程 91
9.1.初值问题的提法 92
9.2.关于解的存在性问题 92
9.3.关于解的唯一性问题 96
10.1.前言 97
10.带滞后的泛函微分方程 97
10.2.基本概念 99
10.3.基本定理 100
第一章习题 105
第二章 实域上的线性方程(组) 112
1.预备知识 114
2.线性组(方程)解的一般性质 119
2.1.解的存在唯一性定理 119
2.2.齐线性组解的性质 120
2.3.齐线性组的降价 122
2.4.非齐次线性组解的性质 124
2.5.高阶线性方程 125
3.常系数线性组 128
3.1.矩阵的指数函数ex 128
3.2.eAt的计算 130
3.3.常系数线性组解的结构 131
4.周期系数线性组·Floquet理论 133
4.1.矩阵的对数函数logX 133
4.2.周期系数线性组解的基本性质 134
5.可化组 138
第二章习题 140
第三章 复域上的线性方程(组) 143
1.正规齐次线性组 143
1.1.存在唯一性定理 143
1.2.推论 146
1.3.基本解矩阵 146
2.孤立奇异点 147
2.1.问题的提出 147
2.2.对数变换s=logz 148
2.3.Cauchy方程组 150
2.4.解的定性结构 151
2.5.解的估值 152
3.1.有限奇异点 154
3.奇异点的分类·Fuchs型方程组 154
3.2.无限奇异点 158
3.3.Fuchs型方程组 159
4.解的级数展开 161
4.1.Banach空间Hδ 161
4.2.形式解·解的幂级数展开定理 163
4.3.空间Hδ(0＜δ＜r)上的两个算子 164
4.4.解的幂级数展开定理的证明 165
4.5.某些推论 167
4.6.一般解的级数展开定理 169
4.7.Banach空间H？ 170
4.8.引理 172
4.9.一般解的级数展开定理的证明 173
4.10.基本解组的建立 175
5.二阶线性方程 180
5.1.奇异点的分类 180
5.2.无限奇异点 180
5.3.例题 181
5.4.解的级数展开 182
5.5.Fuchs型方程 189
第三章习题 197
1.1.问题的提出 199
第四章 边值问题与特征值问题 199
1.Sturm-Llouville型边值问题 199
1.2.Sturm边值问题 201
1.3.问题的转化 204
1.4.Green(格林)函数 206
1.5.S-L型边值问题解的积分表示 209
2.一般线性组的边值问题 212
2.1.解的存在唯一性定理 212
2.2.Green矩阵 213
2.3.解的积分表示 214
3.Sturm-Liouville特征值问题 216
3.1.问题的提出 216
3.2.特征值与特征函数的两个基本性质 218
3.4.关于函数φ的性质 220
3.3.Pr?fer变换 220
3.5.特征值存在定理 225…